Exercices types

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie, pour $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=|x|$.

Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie, pour $x\in\mathbb{R}$ par $g(x)=-x$.

1. Déterminer $f\circ f$, $g\circ g$, $f\circ g$ et  $g\circ f$.

2. Déterminer : $f([-2,3])$, $f(\{-2,3\})$, $f(\mathbb{R})$, $f^{-1}([-2,3])$, $f^{-1}(\{-2,3\})$ et $f^{-1}(\mathbb{R})$.

Exercice 2

Soient $f$  une application de $E$ dans $F$, $A$ et $B$ deux parties de $E$, et $X$ et $Y$deux parties de $F$.

Que penser des égalités suivantes ?

1. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.

2. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.

3. $f^{-1}(X\cup Y)=f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y)$.

4. $f^{-1}(X\cup Y)=f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y)$.

Exercice 3

Soit $f$ : $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ l'application  définie par $f(n)=\dfrac{n}{2}$ si $n$ est pair, et par $f(n)=0$ si $n$ est impair.

1. Déterminer l'image directe de $X=\{0,1,2,3\}$ par $f$.

2.Déterminer l'image réciproque de $X$ par $f$.